Анатолий Текучёв окончил музыкальную школу по классу фортепиано, Сочинское музыкальное училище по классу ударных инструментов, Ростовскую Государственную Консерваторию им. Рахманинова по классу ударных инструментов со специализацией "вибрафон" на кафедре эстрадной и джазовой музыки, аспирантуру по классу камерного ансамбля (научный руководитель - профессор Виктор Бударин).
Гастролировал по городам России, Франции и Германии в составе ансамбля камерной музыки "Каприччио", работал солистом джазового оркестра Ростовской филармонии под руководством Виктора Бударина. Дипломант третьего всероссийского конкурса молодых джазовых исполнителей (1997, Ростов-на-Дону).
В 2001 году в составе ансамбля ударных инструментов The Caucasians принимал участие в фестивале International Percussion Festival 2001 World Drum в Токио.
Сотрудничал с Георгием Гараняном, Юрием Маркиным, Алексеем Кузнецовым, Алексеем Исплатовским.
В настоящее время Анатолий Текучёв - лидер собственного джазового квартета. Коллектив исполняет авторские композиции Анатолия, а также версии джазовых стандартов. Анатолий принимает участие в проектах саксофониста и кларнетиста Валерия Киселева "Мир Бенни Гудмена", "Эхо Гарлема", в программе, посвященной творчеству Коулмена Хоукинса.
В феврале 2005 года Анатолий Текучёв принял участие в программе "Открытый мир" (стажировка в Hampton School of Music, город Москва, штат Айдахо), в рамках которого выступал и давал мастер-классы на Джазовом фестивале им. Лайонела Хэмптона, а также выступал в клубе Jazz Alley в Сиэтле.